Theory and Modern Applications

# Table 1 The commutator table of $${\mathfrak{g}}$$

[,] $$X_{1}$$ $$X_{2}$$ $$X_{3}$$ $$X_{4}$$ $$X_{5}^{f}$$ $$X_{6}^{g}$$ $$X_{7}^{h}$$ $$X_{8}^{d}$$
$$X_{1}$$ 0 $$-3X_{2}$$ 0 0 $$2X_{5}^{f}$$ $$X_{6}^{3t g'-g}$$ $$-X_{7}^{h}$$ $$X_{8}^{3t d_{t}+d}$$
$$X_{2}$$ $$3X_{2}$$ 0 0 0 $$X_{7}^{3f'/4}$$ $$X_{6}^{g'}$$ 0 $$X_{8}^{d_{t}}$$
$$X_{3}$$ 0 0 0 $$-X_{4}$$ $$X_{5}^{zf'-f}$$ 0 $$X_{7}^{zh'}$$ $$X_{8}^{zd_{z}}$$
$$X_{4}$$ 0 0 $$X_{4}$$ 0 $$X_{5}^{f'}$$ 0 $$X_{7}^{h'}$$ $$X_{8}^{d_{z}}$$
$$X_{5}^{\tilde{f}}$$ $$-2X_{5}^{\tilde{f}}$$ $$-X_{7}^{3\tilde{f}'/4}$$ $$-X_{5}^{z\tilde{f}'-\tilde{f}}$$ $$-X_{5}^{\tilde{f}'}$$ $$X_{5}^{3t(f\tilde{f}''-\tilde{f}f'')/4}$$ $$X_{8}$$ $$X_{8}$$ 0
$$X_{6}^{\tilde{g}}$$ $$-X_{6}^{3t \tilde{g}'-\tilde{g}}$$ $$-X_{6}^{\tilde{g}'}$$ 0 0 $$-X_{8}$$ $$X_{8}$$ $$X_{8}$$ 0
$$X_{7}^{\tilde{h}}$$ $$X_{7}^{\tilde{h}}$$ 0 $$-X_{7}^{z\tilde{h}'}$$ $$-X_{7}^{\tilde{h}'}$$ $$-X_{8}$$ $$-X_{8}$$ 0 0
$$X_{8}^{\tilde{d}}$$ $$-X_{8}^{3t \tilde{d}_{t}+\tilde{d}}$$ $$-X_{8}^{\tilde{d}_{t}}$$ $$-X_{8}^{z\tilde{d}_{z}}$$ $$-X_{8}^{\tilde{d}_{z}}$$ 0 0 0 0